Nie chcesz mnie, Ben. SkĹadam siÄ z siedmiu warstw popieprzenia okraszonych odrobinÄ
gĂłwnianego szaleĹstwa.
70 Mówi nam to, że od wartości z = 1 do prawego końca rozkładu mieści się 15,87% obserwa-
Sposoby wykorzystania informacji dotyczącej normalności rozkładu zmiennej w populacji
cji. Jeżeli z = -1 ta sama wartość mówi nam, że do lewego końca rozkładu mieści się 15,87%
obserwacji.
Zatem: aby odpowiedzieć na pytanie 1 i 2, należyobliczyć wynik z i poszukać w tablicach
wartości p2 dla z = 2. Wynosi ona 0,0228. Interpretując tę wartość jako procent (2,28%),
otrzymamy odpowiedź na pytanie 1. o procent osób, które uzyskają wynik mniejszy od X(bo
z = -2 leży poniżej średniej). Następnie należy dokonać przekształcenia 100% - 2,28% =
97,72% -jest to procent osób, które uzyskają wynik większy od X= 80.
Korzystając z danych z przykładu 2.7, odpowiedz na następujące pytania, a rozwiązania umieść
w tabelce:
1. Jaki procent osób uzyska wynik mniejszy/większy niż 90?
2. Jaki procent osób uzyska wynik mniejszy/większy niż 100?
3. Jaki procent osób uzyska wynik mniejszy/większy niż 110?
4. Jaki procent osób uzyska wynik mniejszy/większy niż 120?
5. Jaki procent osób uzyska wynik mniejszy/większy niż 130?
X
z
% osób, które uzyskają
wynik mniejszy od X
% osób, które uzyskają
wynik większy od X
80
-2
2,28
97,72
90
100
110
120
130
Wyliczanie wartości zmiennej na podstawie znajomości
rozkładu normalnego, przy założonym procencie osób,
które mają osiągnąć wynik z danego przedziału
Wyniki egzaminacyjne o zakresie punktacji od 0 do 100 musimy przekształcić na oceny infor-
mujące studentów o poziomie wykonania przez nich testu w skali: 1) bardzo słaby, 2) słaby,
3) przeciętny, 4) dobry, 5) bardzo dobry.
Możemy dokonać tego, ustalając progi bezwzględne, np.:
71
Rozdział 2. Rozkład zmiennej w próbie i w populacji...
1) bardzo słaby
poniżej 60% prawidłowych odpowiedzi
2) słaby
60-69%
3) przeciętny
70-79%
4) dobry
80-89%
5) bardzo dobry
90% i powyżej.
Problem pojawia się, gdy wykładowca umieści w teście bardzo trudne pytania, na które są
w stanie odpowiedzieć tylko nieliczni. W takim przypadku zamiast progów bezwzględnych
lepiej wprowadzić progi pozycyjne, które odnoszą się do rozkładu wyników.
1) bardzo słaby
dolne 10% rozkładu
2) słaby
między 11% a 20%
3) przeciętny
między 21% a 60%
4) dobry
między 61% a 70%
5) bardzo dobry
powyżej 70% (górne 30%)
Aby stosując progi pozycyjne wyznaczyć ilość punktów, którą należy uzyskać na ocenę bar-
dzo dobrą, trzeba wiedzieć, jaki jest rozkład wyników w populacji.
Wyznaczmy progi bezwzględne i pozycyjne dla oceny bardzo dobrej.
Aby wyznaczyć progi bezwzględne, należy za punkt wyjścia wziąć zakres punktacji. Sto
punktów to 100% wykonania testu. Zatem: trzeba uzyskać co najmniej 90 punktów, aby otrzy-
mać ocenę bardzo dobrą. Wyniki innych studentów nie mają wpływu na naszą ocenę.
Progi pozycyjne zależą od tego, jak inni napisali egzamin. Ocenę bardzo dobrą uzyska górne
30% studentów. Aby wyznaczyć progi pozycyjne, musimy znać średnią i odchylenie standar-
dowe w populacji studentów zdających egzamin. Załóżmy, że wyniki miały w populacji rozkład
N(70,10). W tablicach rozkładu normalnego szukamy wyniku z, który odcina 30% powierzchni
do prawego końca rozkładu. Musimy znaleźć w kolumnie p2 wartość najbliższą 0,3. Najbliżej
wartości p2= 0,3 znajduje się p2= 0,3015, która odpowiada z = 0,52. Podstawiamy te wartości
do wzoru na z, pamiętając, że wyniki mają rozkład N(70,10):
0,52 =
?-70
10
72
Po przekształceniu 0,52 x 10 = X - 70 wyliczamy X= 75,2.
Wniosek: Aby uzyskać ocenę bardzo dobrą, wystarczy otrzymać 76 punktów lub więcej.
Sprawdźmy teraz jaki stopień otrzyma Kamil, który uzyskał wynik 65 punktów w przypadku
obu sposobów oceniania, wiedząc, że wyniki mają rozkład normalny N(70,10). W przypadku
stosowania progów bezwzględnych 65 punktów oznacza ocenę słabą.
Aby ustalić jaką ocenę otrzyma Kamil jeśli zastosujemy progi pozycyjne, przeliczmy jego
wynik na jednostki z:
z1 = (65-70)/10 = -0,5
W tablicach rozkładu normalnego szukamy w kolumnie z = 0,5 i odczytujemy wartość p2 = 0,3085,
co oznacza, że 30,85% uzyskało wynik gorszy od niego a 69,15% wynik lepszy. Wynik Kamila
należy do przedziału 21-60% rozkładu co daje mu ocenę przeciętną.
Sposoby wykorzystania informacji dotyczącej normalności rozkładu zmiennej w populacji
Jeżeli wyniki studentów są lepsze niż przed rokiem i mają rozkład normalny N(80,10) to bę-
dzie to miało wpływ na ocenę Kamila: z2 = (65 - 80)/10 = -1,5
W tablicach rozkładu normalnego szukamy z = 1,5 odczytujemy w kolumnie p2 jaki obszar
odcina ten wynik: p2 = 0,0668 co oznacza, że 6,68% uzyskało wynik gorszy od niego a 93,32%
wynik lepszy. Wynik Kamila należy do przedziału: dolne 10% rozkładu, co przekłada się na
ocenę bardzo słabą.
Za 65 prawidłowych odpowiedzi Kamil otrzyma więc bardzo różne oceny:
Proszę wyznaczyć progi bezwzględne i pozycyjne, wiedząc, że skala punktacji wynosi 0-100,
progi absolutne
progi pozycyjne gdy N(70,10)
progi pozycyjne gdy N(80,10)
(2) ocena słaba
(3) ocena przeciętna
(1) ocena bardzo słaba
Ćwiczenie 2.16.
dla:a)N(70,10);b)N(50,20)
Zamieniamy informacje o procentach rozkładu na wartości z:
szukamy p2= 0,1
szukamy p2 = 0,2
szukamy p2 = 0,4
bo 0,6 = 1 -0,4
szukamy p2 = 0,3
bo 0,7 = 1 -0,3
z = -1,28
b. słaby
z = -0,84
z = 0,25
z = 0,52
[słaby
przeciętny
dobry
b
|
WÄ
tki
|